Wiadomości ogólne
- Czas trwania zajęć: 45 minut
- Określenie wiedzy i umiejętności wymaganej u uczniów przed przystąpieniem do realizacji zajęć:
Ponieważ zajęcia z pytaniem problemowym przeznaczone są dla gimnazjalistów, więc uczniowie posiadają wiedzę dotyczącą obliczania pola i obwodu prostokąta. Z umiejętności nabytych w gimnazjum powinni umieć mnożyć proste sumy algebraiczne i rozwiązywać równania metodą równań równoważnych.
- Cele osiągnięte z wykorzystaniem doświadczenia:
Nauczyciela:
- umożliwienie uczniom odkrycia prawidłowości, że: „wśród prostokątów o jednakowym obwodzie największe pole ma kwadrat”,
- zapoznanie z przykładem pełnego, poprawnego rozumowania matematycznego uzasadniającego (dowód nie wprost) intuicję wynikającą z doświadczenia – sformułowaną w postaci hipotezy.
Uczniów:
- uczeń będzie wiedział, że wśród prostokątów o jednakowym obwodzie największe pole ma kwadrat,
- uczeń będzie rozumiał, że doświadczenie matematyczne nie zawsze jest pełnym uzasadnieniem dla odkrytej prawidłowości,
- pozna przykład prawidłowego uzasadnienia matematycznego postawionej hipotezy,
- przeprowadzi dowód (nie wprost) wg zamieszczonej instrukcji - rozumowania.
- Pojęcia kluczowe:
- pole i obwód prostokąta,
- równania równoważne,
- przekształcenia prowadzące do równań równoważnych.
- Potencjalne pytania badawcze:
- Jaki prostokąt o danym obwodzie będzie miał największe pole?
- Jak uzasadnić hipotezę?
- Hipoteza sformułowana przez uczniów:
- „Kiedy prostokąt jest kwadratem” (lub równoważna – kiedy boki prostokąta są równej długości).
Doświadczenie
- Zmienne występujące w doświadczeniu:
- zmienna niezależna: długości boków prostokąta,
- zmienna zależna: pole prostokąta,
- zmienna kontrolna: obwód prostokąta.
Instrukcja wykonania doświadczenia:
Zadanie A
Opis doświadczenia podany został w postaci szczegółowej instrukcji dla ucznia z uwagami dla i od nauczyciela – skierowanymi do uczniów. Można więc wykorzystać ją wraz z propozycją dokumentowania - przy tworzeniu karty pracy dla zajęć z pytaniem problemowym.
1. Uzupełnij tabelę pokazującą jak zmienia się pole przykładowego prostokąta o bokach a i b (obwód prostokąta jest stały – wynosi 16 cm, więc a + b = 8)
|
a |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
b |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
P=a×b |
7 |
|
|
|
|
|
|
2. Zaobserwuj jak zmiana długości boków wpływa na zmianę pola prostokąta.
3. Kiedy, twoim zdaniem, prostokąt o danym obwodzie będzie miał największe pole (patrz punkt Hipoteza stawiana przez uczniów)?
4. Zapoznaj się z informacją nauczyciela.
5. Załóżmy, że kwadrat o boku a nie jest największym prostokątem o obwodzie 4a. Istnieje więc prostokąt o różnych bokach x i y, o większym polu. Zapisz równanie określające, że obwód tego prostokąta równy jest obwodowi naszego kwadratu.
6. Przeczytaj polecenie na fiszce i odpowiedz. Wyniki podane są na oddzielnej kartce zgodnie z oznaczeniami.
7. Zapisz powyższy warunek w postaci prostszego równania równoważnego i sprawdź poprawność przekształcenia.
8. Ustalmy, że x jest krótszym, a y – dłuższym bokiem prostokąta. Zapisz w postaci równania, że bok o długości x jest o z krótszy od a, gdzie 0 < z < a. Sprawdź poprawność. Wyniki podane są na oddzielnej kartce zgodnie z oznaczeniami.
9. Do równania z punktu 7 wstaw za x to co otrzymałeś w punkcie 8. Sprawdź poprawność. Wyniki podane są na oddzielnej kartce zgodnie z oznaczeniami.
10. Przekształć równanie 9 na prostsze równoważne mu i sprawdź poprawność. Wyniki podane są na oddzielnej kartce zgodnie z oznaczeniami.
11. Wyznacz y z równania 10. Sprawdź poprawność. Wyniki podane są na oddzielnej kartce zgodnie z oznaczeniami.
12. Zapisz wyrażenie algebraiczne określające pole prostokąta o bokach x i y, uwzględniając zależności wyznaczone w punktach 8 i 11. Sprawdź poprawność. Wyniki podane są na oddzielnej kartce zgodnie z oznaczeniami.
13. Przekształć wyrażenie do najprostszej postaci mnożąc sumy algebraiczne i redukując wyrazy podobne. Sprawdź, czy wykonałeś poprawnie przekształcenia.
14. Porównaj pola kwadratu o boku a i prostokąta o bokach x i y wstawiając właściwą relację „<”, „>” bądź „=” pomiędzy wyrażenia określające ich pola a2 …. x*y.
15. Uzasadnij, dlaczego tak uznałeś. Przedyskutujcie w parach swoje uzasadnienia i zapiszcie wspólne na oddzielnej kartce.
- Podsumowania doświadczenia:
W ramach podsumowania doświadczenia można zaproponować uczniom, by w parach przedyskutowali pomysł na doświadczalne rozwiązanie problemu:
Który z wielokątów o danym obwodzie ma największe pole: trójkąt równoboczny, kwadrat, czy sześciokąt foremny?
Uczniowie powinni zastanowić się nad dwoma etapami doświadczenia:
- Jak zaplanować doświadczenie dla obwodu wyrażonego konkretną liczbą.
- Jak przeprowadzić uzasadnienie ogólne.
Pomysły uczniów należy zinwentaryzować (np. zapisywać na tablicy) i przedyskutować – ocenić czy z ich wykorzystaniem można otrzymać odpowiedź na pytanie problemowe. Takie podsumowanie może być wstępem umożliwiającym samodzielne zaplanowanie i wykonanie doświadczenia.
Uwaga: W materiałach do pobrania załączono materiał dodatkowy w formie fiszek dla ucznia, które uzupełniają zakres przedstawiony powyżej. Dokument należy wydrukować dwustronnie i pociąć na paski. Uczeń podaje odpowiedź do zadania, a po obróceniu fiszki sprawdza jej poprawność.
Podstawa programowa
- Cele, które zostaną osiągnięte w wyniku przeprowadzenia doświadczenia przez nauczyciela i uczniów pod kierunkiem nauczyciela:
a) wymagania ogólne – cele
- V Rozumowanie i argumentacja: uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania.
- I Wykorzystanie i tworzenie informacji: uczeń interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników.
- II Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji: uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi.
b) wymagania szczegółowe - treści nauczania
- 6 Wyrażenia algebraiczne: 1) uczeń opisuje za pomocą wyrażeń algebraicznych związki między różnymi wielkościami; 5) mnoży jednomiany, mnoży sumę algebraiczną przez jednomian oraz, w nietrudnych przykładach, mnoży sumy algebraiczne; 7) wyznacza wskazaną wielkość z podanych wzorów, w tym geometrycznych i fizycznych.
- 7 Równania: 1) uczeń zapisuje związki między wielkościami za pomocą równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, w tym związki między wielkościami wprost proporcjonalnymi i odwrotnie proporcjonalnymi; 3) rozwiązuje równania stopnia pierwszego z jedną niewiadomą; 7) za pomocą równań lub układów równań opisuje i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście praktycznym.
Materiały do pobrania
Słowniczek
EKSPERYMENT, prowadzony zgodnie z metodą naukową, rozumiany jest jako proces, w trakcie którego badacz, uczeń, wprowadza zaplanowaną zmianę jednego czynnika i bada, jakie ta zmiana przynosi rezultaty, uważając przy tym, by pozostałe czynniki pozostały niezmienne.
OBSERWACJA rozumiana jako zaplanowane gromadzenie faktów, bez wprowadzania jakichkolwiek ingerencji w badane zjawisko. W trakcie obserwacji nie występuje zmienna niezależna, ponieważ nie ingerujemy w badany proces.
Eksperyment i obserwacja są realizowane zgodnie z metodą naukową, a to oznacza:
Postawienie PYTANIA BADAWCZEGO - Pytanie może być zadane przez uczniów lub zaproponowane przez nauczyciela. Pozwala to ukierunkować myśli i skoncentrować się na badanym problemie, uświadamia, że badania naukowe są wynikiem zaplanowanego działania.Dobrze skonstruowane pytanie badawcze jest pytaniem otwartym - uczeń sam chce znaleźć na nie odpowiedź.
Kolejnym krokiem jest postawienie HIPOTEZY, czyli prawdopodobnej, przewidywanej i wymyślonej przez uczniów odpowiedź na pytanie badawcze. Pamiętajmy, że przed wykonaniem eksperymentu nie ma złych lub dobrych hipotez, każda, nawet najbardziej śmiała jest dopuszczalna.
Kolejny etap to określenie ZMIENNYCH:
- ZMIENNA NIEZALEŻNA czyli to, co zmieniamy.
- ZMIENNA ZALEŻNA czyli wielkość, którą będziemy mierzyć, obserwować.
- ZMIENNE KONTROLNE czyli wszystko to, co musi zostać niezmienne.
ZMIENNA ZALEŻNA to parametr mierzony podczas doświadczenia, zmieniający się w zależności od zmian ZMIENNEJ NIEZALEŻNEJ.
W doświadczeniu naukowym pojawiają się również PRÓBY KONTROLNE. Bez kontroli nie można jednoznacznie stwierdzić, czy wyniki doświadczenia są wiarygodne. Kontrola pozytywna to dodatkowa próba, którą przeprowadzamy identycznie, jak próbę badawczą, ale z użyciem takiego czynnika (jeśli jest znany), który na pewno wywołuje pożądany efekt. Z kolei kontrola negatywna to dodatkowa próba, ale bez użycia czynnika, o którym wiemy, że wywołuje badane zjawisko. Z założenia, wynikiem tej próby będzie brak zmiany mierzonego parametru. Nie w każdym układzie doświadczalnym da się zaplanować obie próby kontrolne.
Zajęcia z pytaniem problemowym zakładają dyskusję między uczniami na podstawie dodatkowych pytań lub przykładów dostarczonych przez nauczyciela. Zajęcia te kształcą umiejętność doboru i formułowania argumentów, słuchania osób o innym stanowisku oraz wyciągania wniosków. W wyniku dyskusji cenne byłoby wypracowanie stanowiska, by uczniowie przekonali się, że każda konstruktywna rozmowa powinna zakończyć się rzetelnym podsumowaniem.
Gry dydaktyczne wykorzystują czynnik zabawy, co wspomaga przyswajanie wiedzy przez uczniów. Gry rozwijają pomysłowość, aktywność, samodzielność, umiejętność pracy w grupie oraz uczą radzenia sobie z emocjami. Grając uczymy się przez działanie i przeżywanie. Sukcesem jest osiągnięcie celu, a nie wygrana z innymi, czy zajęcie pierwszego miejsca. Najważniejsza w grze jest dydaktyka. Wygrywać mają wszyscy.
Bibliografia
Ponieważ przygotowując scenariusz nie korzystałem z żadnej konkretnej inspiracji, nie przywołuję tu pozycji w zakresie literatury. Uczniowie przygotowując swoje doświadczenie mogą korzystać np. z podręcznika do matematyki:
1. Matematyka 3. Podręcznik dla gimnazjum. Wydanie 2011. Praca zbiorowa pod redakcją M. Dobrowolskiej.
