Konstrukcja gier sprawiedliwych i niesprawiedliwych poprzez określanie prawdopodobieństwa

Wiadomości ogólne

• Czas trwania zajęć: ok. 40 minut
• Kontekst w jakim wprowadzono doświadczenie:
  
  W grze losowej wygrana zależy od wylosowania "szczęśliwej liczby" z poniższej tabeli. Liczby powstają jako sumy oczek, które wypadną podczas rzutu dwiema sześciennymi kostkami do gry.

• Określenie wiedzy i umiejętności wymaganej u uczniów przed przystąpieniem do realizacji zajęć:
  
  Podstawowe umiejętności i wiadomości na poziomie szkoły podstawowej.

• Cele osiągnięte z wykorzystaniem doświadczenia:
  
  Nauczyciela:
  
  • zapoznanie uczniów z klasyczną definicją prawdopodobieństwa,
  • kształcenie umiejętności obliczania prawdopodobieństwa.
  
  Uczniów:

• uczeń będzie umiał określić prawdopodobieństwo zdarzeń losowych,
• uczeń zrozumie dlaczego gry losowe mogą być sprawiedliwe bądź niesprawiedliwe.
  
  
• Pojęcia kluczowe:
• zdarzenie losowe,
• prawdopodobieństwo zdarzenia losowego,
• zdarzenie elementarne.
  
  
• Potencjalne pytania badawcze:
  
  Oceń, która hipoteza jest prawdziwa:

1. Gra jest niesprawiedliwa, bo łatwiej trafić liczbę szczęśliwą.
2. Gra jest sprawiedliwa, bo szanse wygranej i przegranej są jednakowe.
3. Gra jest niesprawiedliwa, bo łatwiej trafić liczbę, która nie jest szczęśliwa.

---

Doświadczenie

• Zmienne występujące w doświadczeniu:
• zmienna niezależna: ilość oczek na kostkach, którymi rzucamy (para liczb),
• zmienna zależna: suma oczek na dwóch kostkach,
• zmienna kontrolna: rodzaj kostek (symetryczne kostki sześcienne).

Instrukcja wykonania doświadczenia:

Zadanie A

Uruchom symulator rzutu kostkami:

Symulator rzutu kostkami

1.  Uzupełnij 2 wiersz tabeli 1 przedstawiającej jakie są możliwe wyniki przy rzucie dwiema kostkami.

2.  Oblicz  sumę oczek na dwóch kostkach – wypełnij 3 wiersz tabeli 1.

3.  Sumy tworzące „liczby szczęśliwe” wyróżnij w czytelny sposób (np. obwiedź).

4.  Określ ile jest możliwości wygrania (i_w) w tym zdarzeniu losowym, a ile możliwości przegrania(i_p)

i_w = ………… i_p = …………

5.  Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo wygranej (p_w), a jakie prawdopodobieństwo przegranej (p_p), wykorzystując poniższe wzory

p_w=i_w/i_w+i_p    p=.../...=

p_w=i_p/i_w+i_p    p_p=.../...=

Uwaga!  Zauważ, że wszystkich zdarzeń elementarnych (możliwych wyników tego doświadczenia) jest łącznie tyle ile  wynosi suma i_w + i_p.

6.  Odpowiedz na pytania:

• Ile wynosi suma prawdopodobieństw: wygranej i przegranej?
• Jak doświadczenie zweryfikowało twoją hipotezę?

Kostka 1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4	4	5	5	5	5	5	5	6	6	6	6	6	6
Kostka 2	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6
Suma oczek	2	3	4	5	6	7	3	4	5	6	7	8	4	5	6	7	8	9	5	6	7	8	9	10	6	7	8	9	10	11	7	8	9	10	11	12

• Podsumowania doświadczenia:

1. Ustalcie w parach co waszym zdaniem jest bardziej prawdopodobne: wylosowanie liczby oczek będącej liczbą pierwszą czy złożoną podczas doświadczenia losowego polegającego na rzucie sześcienną kostką do gry. Przygotujcie uzasadnienie dla waszego ustalenia.
2. Czy można zmodyfikować zasady opisanej w naszym doświadczeniu gry losowej tak, by stała się sprawiedliwa? Projekt modyfikacji przygotujcie pracując w zespołach czteroosobowych (łącząc dwie pary pracujące nad 1.).

 

---

Podstawa programowa

• Cele, które zostaną osiągnięte w wyniku przeprowadzenia doświadczenia przez nauczyciela i uczniów pod kierunkiem nauczyciela:

a) wymagania ogólne – cele

• II Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji: uczeń  używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi.
• III Modelowanie matematyczne: uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji, buduje model matematyczny danej sytuacji.
• IV Użycie i tworzenie strategii: uczeń stosuje strategię jasno wynikającą z treści zadania, tworzy strategię rozwiązania problemu.
• V Rozumowanie i argumentacja: uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania.

b) wymagania szczegółowe - treści nauczania

• 9 Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa: 5) uczeń analizuje proste doświadczenia losowe (np. rzut kostką, rzut monetą, wyciąganie losu) i określa prawdopodobieństwa najprostszych zdarzeń w tych doświadczeniach (prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w rzucie monetą, dwójki lub szóstki w rzucie kostką, itp.).

---

Materiały do pobrania

• pdf Gry sprawiedliwe i niesprawiedliwe - procedura 214 KB
• pdf Gry sprawiedliwe i niesprawiedliwe - karta pracy - wersja A 142 KB
• doc Gry sprawiedliwe i niesprawiedliwe - karta pracy - wersja A 380 KB
• swf Gry sprawiedliwe i niesprawiedliwe - symulacja "Symulator rzutu kostkami" 239 KB

---

Słowniczek

EKSPERYMENT, prowadzony zgodnie z metodą naukową, rozumiany jest jako proces, w trakcie którego badacz, uczeń, wprowadza zaplanowaną zmianę jednego czynnika i bada, jakie ta zmiana przynosi rezultaty, uważając przy tym, by pozostałe czynniki pozostały niezmienne.

 

OBSERWACJA rozumiana jako zaplanowane gromadzenie faktów, bez wprowadzania jakichkolwiek ingerencji w badane zjawisko. W trakcie obserwacji nie występuje zmienna niezależna, ponieważ nie ingerujemy w badany proces.

 

Eksperyment i obserwacja są realizowane zgodnie z metodą naukową, a to oznacza:

Postawienie PYTANIA BADAWCZEGO - Pytanie może być zadane przez uczniów lub zaproponowane przez nauczyciela. Pozwala to ukierunkować myśli i skoncentrować się na badanym problemie, uświadamia, że badania naukowe są wynikiem zaplanowanego działania.Dobrze skonstruowane pytanie badawcze jest pytaniem otwartym - uczeń sam chce znaleźć na nie odpowiedź.

Kolejnym krokiem jest postawienie HIPOTEZY, czyli prawdopodobnej, przewidywanej i wymyślonej przez uczniów odpowiedź na pytanie badawcze. Pamiętajmy, że przed wykonaniem eksperymentu nie ma złych lub dobrych hipotez, każda, nawet najbardziej śmiała jest dopuszczalna.

Kolejny etap to określenie ZMIENNYCH:

• ZMIENNA NIEZALEŻNA czyli to, co zmieniamy.
• ZMIENNA ZALEŻNA czyli wielkość, którą będziemy mierzyć, obserwować.
• ZMIENNE KONTROLNE czyli wszystko to, co musi zostać niezmienne.

ZMIENNA ZALEŻNA to parametr mierzony podczas doświadczenia, zmieniający się w zależności od zmian ZMIENNEJ NIEZALEŻNEJ.

  

W doświadczeniu naukowym pojawiają się również PRÓBY KONTROLNE. Bez kontroli nie można jednoznacznie stwierdzić, czy wyniki doświadczenia są wiarygodne. Kontrola pozytywna to dodatkowa próba, którą przeprowadzamy identycznie, jak próbę badawczą, ale z użyciem takiego czynnika (jeśli jest znany), który na pewno wywołuje pożądany efekt. Z kolei kontrola negatywna to dodatkowa próba, ale bez użycia czynnika, o którym wiemy, że wywołuje badane zjawisko. Z założenia, wynikiem tej próby będzie brak zmiany mierzonego parametru. Nie w każdym układzie doświadczalnym da się zaplanować obie próby kontrolne.

  

Zajęcia z pytaniem problemowym zakładają dyskusję między uczniami na podstawie dodatkowych pytań lub przykładów dostarczonych przez nauczyciela. Zajęcia te kształcą umiejętność doboru i formułowania argumentów, słuchania osób o innym stanowisku oraz wyciągania wniosków. W wyniku dyskusji cenne byłoby wypracowanie stanowiska, by uczniowie przekonali się, że każda konstruktywna rozmowa powinna zakończyć się rzetelnym podsumowaniem.

 

Gry dydaktyczne wykorzystują czynnik zabawy, co wspomaga przyswajanie wiedzy przez uczniów. Gry rozwijają pomysłowość, aktywność, samodzielność, umiejętność pracy w grupie oraz uczą radzenia sobie z emocjami. Grając uczymy się przez działanie i przeżywanie. Sukcesem jest osiągnięcie celu, a nie wygrana z innymi, czy zajęcie pierwszego miejsca. Najważniejsza w grze jest dydaktyka. Wygrywać mają wszyscy.

---

Bibliografia

Podstawowe informacje dotyczące wskazanych pojęć i sposobów obliczania prawdopodobieństwa oraz przykłady innych zdarzeń losowych wraz z zestawem zadań i ćwiczeń uczeń może znaleźć np. w:

1.  Matematyka 2. Podręcznik dla gimnazjum. Wydanie 2010. Praca zbiorowa pod redakcją M. Dobrowolskiej.

Proponuję również uczniom i nauczycielom artykuł pt.

2.  „Sprawiedliwa, czy niesprawiedliwa” Przemysława Nowickiego zamieszczony w czasopiśmie Delta 1(25)/1976. Ze względu na możliwą trudność w dotarciu do tak archiwalnego źródła, podaję też dostęp do wersji pdf tego artykułu w lokalizacji: http://www.mimuw.edu.pl/delta/artykuly/delta2010-07/2010-07-5.pdf
(dostępność sprawdzono 4.03.2013 r.)

---